$\doint_{C}{f(z)\dd z}$
$= \doint_{C}{\bigl( \Re f(z) + \i \Im f(z) \bigr) \dv z{t}\dd{t} }$
$= \doint_{C}{\bigl( \Re f(z) + \i \Im f(z) \bigr) \left(\dv{x}{t} + \i \dv{y}{t} \right) \dd{t} }$
$= \doint_{C}{\bigl( \Re f(z) + \i \Im f(z) \bigr) \dd{x} } +  \doint_{C}{\bigl( \Re f(z) + \i \Im f(z) \bigr) \i \dd{y} }$
$= \doint_{C}{\bigl( \Re f(z) + \i \Im f(z) \bigr) \dd{x} } +  \doint_{C}{\bigl( \i \Re f(z)-\Im f(z) \bigr) \dd{y} }$
$= \doint_{C}{\bigl( \Re f(z)\dd{x}-\Im f(z) \dd{y}  \bigr) } +  \i \doint_{C}{\bigl( \Re f(z)\dd{y} + \Im f(z)\dd{x} \bigr) }$
グリーンの定理より、
$= \diint _{D}{\left(-\pdv{\Im f(z)}{x}-\pdv{\Re f(z)}{y} \right) \dd{x}\dd{y}} + \i \diint _{D}{\left( \pdv{\Im f(z)}{y}-\pdv{\Re f(z)}{x} \right) \dd{x}\dd{y}}$
$=-\diint _{D}{\left( \pdv{\Im f(z)}{x} + \pdv{\Re f(z)}{y} \right) \dd{x}\dd{y}} + \i \diint _{D}{\left( \pdv{\Im f(z)}{y}-\pdv{\Re f(z)}{x} \right) \dd{x}\dd{y}}$
コーシー・リーマンの方程式より、
$=-\diint _{D}{0 \times \dd{x}\dd{y}}+\i \diint _{D}{0 \times \dd{x}\dd{y}}$
$= 0. \ \Box$