可読性の向上を目的とし、慣習に則って 複素関数 $f(z)$ に対して、その実部と虚部を
$$u(x,y) := \Re f(z),\, v(x, y) := \Im f(z)$$と定義・表記する。
複素関数 $f(z) = u(x,y) + \i v(x,y)$ に対して、以下の方程式
$$\dpdv{u}{x} = \dpdv{v}{y},\,
\dpdv{v}{x} =-\dpdv{u}{y}$$をコーシー・リーマンの方程式と呼ぶ。
複素関数$f(z) = u(x,y) + \i v(x,y)$ が正則関数であることの必要十分条件は、$u, v$ が 全微分可能であり、コーシー・リーマンの方程式が成り立つことである。
十分性の証明
｢$f$ は正則関数である｣
$\implies$｢$f$は全微分可能である｣$\land$｢$f$ に対してコーシー・リーマンの方程式が成り立つ｣
$\qquad f'(z)$
$\qquad = \dlim_{\Delta x \to 0}\dfrac{f(z + \Delta x)-f(z)}{\Delta x}$
$\qquad = \dlim_{\Delta x \to 0}\dfrac{ u(x + \Delta x,\, y) + \i v(x+\Delta x,\, y)-\bigl( u(x,\, y) + \i v(x,\, y)\bigr)}{\Delta x}$
$\qquad = \dlim_{\Delta x \to 0}\dfrac{ u(x + \Delta x,\, y)-u(x,\, y)}{\Delta x}$
$\qquad\qquad + \i \left( \dlim_{\Delta x \to 0}\dfrac{ v(x + \Delta x,\, y)-v(x,\, y)}{\Delta x}\right)$
$\qquad = \highlightbrace{red}{\Re f'(z)}{ \dpdv{u}{x} } + \i \highlightbrace{blue}{\im f'(z)}{ \dpdv{v}{x} }.$
$\qquad f'(z)$
$\qquad = \dlim_{\Delta y \to 0}\dfrac{f(z + \i\Delta y)-f(z)}{\i\Delta y}$
$\qquad = \dlim_{\Delta y \to 0}\dfrac{u(x,\, y+\Delta y) + \i v(x,\, y + \Delta y)-\bigl( u(x,y) + \i v(x,\, y) \bigr)}{\i \Delta y}$
$\i^2 \cdot \qty(-\dfrac1\i) =-1 \cdot \qty(-\dfrac1\i) \iff-\i = \dfrac1\i$より、
$\qquad = \dlim_{\Delta y \to 0}\dfrac{u(x,\, y + \Delta y) + \i \Im f(x,\, y + \Delta y)-u(x,\, y)-\i v(x,\, y)}{\Delta y} \cdot (-\i)$
$\qquad = \dlim_{\Delta y \to 0}\dfrac{-\i u(x,\, y + \Delta y) + v(x,\, y + \Delta y) + \i u(x,\, y)-v(x,\, y ) }{\Delta y}$
$\qquad = \dlim_{\Delta y \to 0}\dfrac{ v(x,\, y + \Delta y)-v(x,\, y)-\i \bigl( u(x,\, y + \Delta y)-u(x,\, y )\bigr)}{\Delta y}$
$\qquad = \dlim_{\Delta y \to 0}\dfrac{v(x,\, y + \Delta y)-v(x,\, y)}{\Delta y}-\i \dlim_{\Delta y \to 0}\dfrac{ u(x,\, y + \Delta y)-u(x,\, y)}{\Delta y}$
$\qquad = \highlightbrace{red}{ \Re f'(z) }{ \dpdv{v}{y} }-\i \highlightbrace{blue}{ \im f'(z) }{ \dpdv{u}{y} }.$
これにより、以下の関係式が得られる。
$f'(z) = \dpdv{u}{x} + \i \dpdv{v}{x} = \dpdv{v}{y}-\i \dpdv{u}{y}$
したがって、
$\qquad
\dpdv{u}{x} = \dpdv{v}{y},\,
\dpdv{v}{x} =-\dpdv{u}{y}$
が成り立つ。$\Box$
必要性の証明
｢$f$は全微分可能である｣$\land$｢$f$ に対してコーシー・リーマンの方程式が成り立つ｣
$\implies$｢$f$ は正則関数である｣
