$D$ を単連結領域、$C$ を $D$ 内の単純閉曲線、$f(z)$ を $D$ 上の正則関数とするとき、$C$ 内の点 $\alpha$ に対して、以下が成り立つ。
$$f(\alpha) = \frac{1}{2\pi\i} \oint_C \frac{f(z)}{z-\alpha} \dd z.$$
- この定理の意味と意義は？
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意味：
$D$ 上の正則関数 $f$ の値を $D$ 内の単純閉曲線上での積分として表せる。
意義：
$C$ 内の任意の点 $\alpha$ での $f$ の値 $f(\alpha)$ を $D$ 内の点 $z$ を用いた積分で表すことができる。
$\doint_{C} \frac{f(z)}{z-\alpha} \dd z$ を変形して $2\pi\i f(z)$ を導く。
$\qquad \doint_{C} \frac{f(z)}{z-\alpha} \dd z$
$\qquad = \doint_{C} \frac{f(\alpha)}{z-\alpha} \dd z + \doint_C \dfrac{f(z)-f(\alpha)}{z-\alpha} \dd z$
$\qquad = f(\alpha) \doint_{C} (z-\alpha)^{-1} \dd z + \doint_C \dfrac{f(z)-f(\alpha)}{z-\alpha} \dd z$
$\doint_C (z-\alpha)^n$ の公式より、
$\qquad = 2\pi\i f(\alpha) + \doint_C \dfrac{f(z) – f(\alpha)}{z-\alpha} \dd z.$
$\doint_C \dfrac{f(z)-f(\alpha)}{z-\alpha} \dd z = 0$が示されれば、定理が証明されるから、それを示す。
$f(z)$ は $D$ 上正則すなわち $z=\alpha$ において連続であるから、$\varepsilon$-$\delta$ 論法を用いて $(\A \varepsilon > 0) \qty\Big[ 0 < |z-\alpha| < r \implies \abs\big{ f(z)-f(\alpha) } < \varepsilon ]$ と表すことができ、
$\qquad \abs{ \doint_C \dfrac{f(z)-f(\alpha)}{z-\alpha} \dd z-0 }$
$\qquad \leq \doint_C \abs{ \dfrac{f(z)-f(\alpha)}{z-\alpha} } \abs{\dd z}$
$\qquad < \doint_C \dfrac{\varepsilon}{r} \dd z$
$\qquad = \dfrac{\varepsilon}{r} \doint_C \dd z$
$\qquad = \dfrac{\varepsilon}{r} \cdot 2\pi r$
$\qquad = 2\pi\varepsilon$
$\qquad \to 0\ (\varepsilon \to 0).$
よって、
$\qquad \dlim_{r = 0} \abs{ \oint_C \dfrac{f(z)-f(\alpha)}{z-\alpha} \dd z } = 0.$
したがって、
$\qquad \doint_C \dfrac{f(z)}{z-\alpha} \dd z = 2\pi\i f(\alpha)$
$\qquad \iff f(\alpha) = \dfrac{1}{2\pi\i} \doint_C \dfrac{f(z)}{z-\alpha} \dd z.\ \Box$
- コーシーの積分表示とも呼ばれる。 ↩︎
