定義：前層（presheaf）
- 集合論的な定義
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$X$ を集合、$\mathcal O$ を開集合系とし、$(X, \mathcal O)$ を位相空間とする。開集合 $U \in \mathcal O$ に対して、アーベル群 $F(U)$ を定める。$U \subseteq V$ とするとき、以下の性質を満たす準同型写像 $\rho_{U,V} \colon F(V) \to F(U);\, f \mapsto f|_U$ を前層と呼ぶ。
- $\rho_{U,U} = \id_{F(U)}$
- $U \subseteq V \subseteq W \implies \rho_{U,W} \colon \rho_{U,V} \circ \rho_{V,W}$
- 圏論的な定義
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$\mathcal C$ を小さな圏とするとき、反変関手 $F \colon \mathcal C^\op \to \Set$ を前層と呼ぶ。
定義：芽（germ）
定義：茎（stalk）
$X$ を位相空間、$\mathcal F$ を $X$ 上の前層、$U$ を $x \in X$ の開近傍とする。このとき$U$ を有向集合、$\mathcal F$ を帰納系とする帰納極限
$$\mathcal F_x := \displaystyle\varinjlim_{x \in U} \mathcal F(U)$$
を $\mathcal F$ の $x$ における茎と呼ぶ。
定義：層（sheaf）
$X$ を位相空間、$\mathcal F$ を $X$ 上の前層、$\qty{U_i}_{i \in I}$ を $U \in \mathcal F$ の開被覆とする。これらに対して、以下が成り立つとき、$\mathcal F$ を層と呼ぶ。
- $\qty\big( \A f, g \in \mathcal F(U) ) [ f|_{U_i} = g|_{U_i} \;\Longrightarrow\; f = g ].$
- $(\A i, j \in I) \qty\big(\E! f \in \mathcal F(U) )[ f_i|_{U_i \cap U_j} = f_j|_{U_i \cap U_j} \;\Longrightarrow\; f|_{U_i} = f_i].$
層の例
