定義1：距離空間･擬距離空間
$X$ を集合とするとき、以下の性質を満たす写像 $d \colon X^2 \to \R$ を距離関数と呼び、$1,2,4,5$ を満たす $(X, d)$ を距離空間と呼ぶ。また$1,3,4,5$ を満たす $(X, d)$ を擬距離空間と呼ぶ。
- $d(x, y) \geq 0$ (非負性)
- $d(x, y) = 0 \iff x = y$ (非退化性)
- $d(x, y) = 0 \implies x = y$ (弱非退化性)
- $d(x, y) = d(y, x)$ (対称性)
- $d(x, y) + d(y, z) \geq d(x, z)$ (劣加法性)
例：距離空間と擬距離空間
$X$ を集合とする。
- ユークリッド距離 $d(x, y) = \sqrt{\dsum_{i=1}^n (x_i-y_i)^2}$ によって $(X, d)$ は距離空間をなす。
- マンハッタン距離 $d(x, y) = \dsum_{i=1}^n |x_i-y_i|$ によって $(X, d)$ は距離空間をなす。
- フランス鉄道距離 $d(x,y) = \begin{cases}|x-y| \quad (\E a \in \R \implies x=ay) \\|x| + |y| \quad (その他の場合)\end{cases}$ によって $(X, d)$ は距離空間をなす。
- チェビシェフ距離 $d(x,y) = \dmax_{1\leq i \leq n}|x_i-y_i|$ によって $(X, d)$ は距離空間をなす。
- 離散距離 $d$ によって $(X, d)$ は距離空間をなす。
- 密着擬距離 $d$ によって $(X, d)$ は擬距離空間をなす。
証明
1の証明
- 非負性
$(x_i-y_i)^2 \geq 0$
- 対称性
$\sqrt{\dsum_{i=1}^n (x_i-y_i)^2}=0$
は$x_i=y_i$のときに成り立ち、$x_i=y_i$のとき
$\sqrt{\dsum_{i=1}^n (x_i-y_i)^2}=\sqrt{\dsum_{i=1}^n (x_i-x_i)^2}=0$
が成り立つ。
- 非退化性
$\sqrt{\dsum_{i=1}^n (x_i-y_i)^2}=\sqrt{\dsum_{i=1}^n (y_i-x_i)^2}$
- 劣加法性
$\sqrt{\dsum_{i=1}^n (x_i-y_i)^2}+\sqrt{\dsum_{i=1}^n (y_i-z_i)^2}^2 \geq \sqrt{\dsum_{i=1}^n (x_i-z_i)^2}$
2の証明
3の証明
$x = ay$ は $x$ が $y$ の定数倍(スカラー倍)で表せる場合すなわち $x$ と $y$ が同一直線上に存在するとき $|x-y|$ を、定数倍で表せない場合は $|x|+|y|$ を距離として採用するということである。
4の証明
5の証明
6の証明
