位相空間の構成法

$(X, \mathcal O)$ を位相空間とするとき、部分集合 $Y \subset X$ に対して、
$$\mathcal O_Y = \{ U \cap Y \mid U \in \mathcal O \}$$
を相対位相、$Y$ を $X$ の部分空間と呼ぶ。

位相空間 $(X_\alpha, \tau_\alpha)$ の族 $( {X_\alpha }_{\alpha \in I} )$ の直積集合
$$X = \prod_{\alpha \in I} X_\alpha$$
に対し、すべての $(\alpha \in I)$ に対する射影
$$\pi_\alpha: X \to X_\alpha, \quad \pi_\alpha(x) = x_\alpha$$
が連続となる最小の位相 $\tau$ を 積位相（直積位相）と呼ぶ。
このときの開集合系は、
$$\tau = \text{最も細かい、すべての } \pi_\alpha \text{ が連続となる位相}$$
で与えられる。

また、基底は各有限個の $X_\alpha$ の開集合 $U_\alpha \in \tau_\alpha$ に対し、
$$\prod_{\alpha \in I} U_\alpha$$
ただし、ほとんどすべての $U_\alpha = X_\alpha$ であるような集合とする。

位相空間 $(X, \mathcal O)$ と、$X$ から集合 $Y$ への全射 $\pi \colon X \to Y$ に対し、
$Y$ 上の開集合系 $\mathcal O_Y$ を
$$\mathcal O_Y = \{ V \subset Y \mid \pi^{-1}(V) \in \mathcal O \}$$
と定義するとき、$\mathcal O_Y$ を $Y$ の商位相という。
このとき、$\pi$ は商写像と呼ばれる。

商位相のもとでは、$\pi$ は常に全射かつ連続であり、
$Y$ 上の任意の位相が $\pi$ を連続にするならば、それは $\mathcal O_Y$ よりも粗い。
つまり、商位相は $\pi$ を連続にする最も細かい位相である。