複素関数の微分
複素関数の微分
$D$ を領域 $D \subseteq \C$、$\alpha$ を点 $\alpha \in D$ とするとき、複素関数 $f(z) \colon D \to \C$ に対して、極限値$$f'(\alpha) := \lim_{z\to\alpha} \frac{f(z)-f(\alpha)}{z-\alpha}$$を $f(z)$ の微分係数と呼び、$f(z)$ は $\alpha$ において微分可能であるという。
また微分係数を対応させる関数$$f'(z) := \lim_{\Delta z\to 0} \frac{f(z+\Delta z)-f(z)}{\Delta z}$$を $f(z)$ の導関数と呼ぶ。
特に、$f(z)$ が領域 $D$ 上のすべての点において微分可能であるとき、$f(z)$ を$D$ 上の正則関数と呼ぶ。
コーシー・リーマンの方程式
連立偏微分方程式$$
\begin{cases}
\dpdv{\Re f(z)}{x} = \dpdv{\im f(z)}{y} \\
\dpdv{\Re f(z)}{y} = – \dpdv{\im f(z)}{x}
\end{cases}
$$をコーシー・リーマンの方程式と呼ぶ。
$f$ を複素関数とするとき、以下の命題は同値である。
- $f$ はコーシー・リーマンの方程式が成り立つ。
- $f$ は正則関数である。
証明
十分性の証明
必要性の証明
$f'(z)$
$= \dlim_{\Delta x \to 0}\frac{f(z + \Delta x) – f(z)}{\Delta x}$
$= \dlim_{\Delta x \to 0}\frac{ \Re f(x + \Delta x,\, y) + \i \Im f(x+\Delta x,\, y) – \bigl( \Re f(x,\, y) + \i \Im f(x,\, y)\bigr)}{\Delta x}$
$= \dlim_{\Delta x \to 0}\frac{ \Re f(x + \Delta x,\, y) – \Re f(x,\, y)}{\Delta x} + \i \left( \dlim_{\Delta x \to 0}\frac{ \Im f(x + \Delta x,\, y) – \Im f(x,\, y)}{\Delta x}\right)$
$= \textcolor{red}{\underbrace{\textcolor{black}{ \pdv{\Re f(z)}{x} }}_{\substack{\Vert\\ \Re f'(z) }}} + \i \textcolor{blue}{\underbrace{\textcolor{black}{ \pdv{\im f(z)}{x} }}_{\substack{\Vert\\ \im f'(z) }}}.$
$f'(z)$
$= \dlim_{\Delta y \to 0}\frac{f(z + \i\Delta y) – f(z)}{\i\Delta y}$
$= \dlim_{\Delta y \to 0}\frac{\Re f(x,\, y+\Delta y_2) + \i \Im f(x,\, y + \Delta y) – \bigl( \Re f(x,y) + \i \Im f(x,\, y) \bigr)}{\i \Delta y}$
$= \dlim_{\Delta y \to 0}\frac{\Re f(x,\, y + \Delta y) + \i \Im f(x,\, y + \Delta y) – \Re f(x,\, y) – \i \Im f(x,\, y)}{\Delta y} \times (-\i)$1
$= \dlim_{\Delta y \to 0}\frac{ – \i \Re f(x,\, y + \Delta y) + \Im f(x,\, y + \Delta y) + \i \Re f(x,\, y) – \Im f(x,\, y ) }{\Delta y}$
$= \lim_{\Delta y \to 0}\frac{ \Im f(x,\, y + \Delta y) – \Im f(x,\, y) – \i \bigl( \Re f(x,\, y + \Delta y) – \Re f(x,\, y )\bigr)}{\Delta y}$
$= \dlim_{\Delta y \to 0}\frac{\Im f(x,\, y + \Delta y) – \Im f(x,\, y)}{\Delta y} – \i \dlim_{\Delta y \to 0}\frac{ \Re f(x,\, y + \Delta y) – \Re f(x,\, y)}{\Delta y}$
$= \textcolor{red}{\underbrace{\textcolor{black}{ \pdv{\im f(z)}{y} }}_{\substack{\Vert\\ \Re f'(z) }}} + \i \textcolor{blue}{\underbrace{\textcolor{black}{ \pdv{\Re f(z)}{y} }}_{\substack{\Vert\\ \im f'(z) }}}.$
$\therefore
\begin{cases}
f'(z) = \dpdv{f(z)}{x} = \dpdv{f(z)}{y} \\
\Re f'(z) = \dpdv{\Re f(z)}{x} = \dpdv{\Im f(z)}{y} \\
\Im f'(z) = \dpdv{\Im f(z)}{x} = – \dpdv{\Re f(z)}{x}
\end{cases}.$
複素関数の積分
コーシーの積分定理
$D \subseteq \C$ を領域、$C$ を $D$ 内の区分的に滑らかなジョルダン曲線、$f$ を $D$ 上の正則関数とするとき、以下が成り立つ。
$$\doint_C f(z)\dd z = 0$$
コーシーの積分公式
$D$を単連結領域、$C$を$D$内の区分的に滑らかなジョルダン曲線、$f$を$D$上の正則関数とするとき、$C$内の点$\alpha$と、$\alpha$を中心とする半径$r$で$C$内の円$C’$に対して、以下が成り立つ。
$$f(\alpha) = \dfrac{1}{2\pi\i} \doint_C \frac{f(z)}{z – \alpha} \dd z.$$
\footnotetext[1]{\textbf{コーシーの積分表示}とも呼ばれる。}
$$\begin{tikzpicture}
% D.
\draw (-4, -2.5) rectangle (4, 2.5);
\draw (0, 2.5) node [fill = darkblue!10] {$D$};
% C’.
\draw[thick, ->] (1.75, 1.4) arc [start angle=45, end angle=405, x radius=2.5, y radius=2];
\draw (1.5, 1) node {$C’$};
% C.
\draw [->] (45:1.5) arc [start angle=45, end angle=405, radius=1.5];
\draw (2.5, 1) node {$C$};
% α.f
\fill (0, 0) circle (0.06) node [below]{$\alpha$};
% r.
\draw (0, 0) to [bend left=40] node [fill = darkblue!10, midway] {$r$} (1.5, 0);
\draw (0, 0)–(1.5, 0);
\end{tikzpicture}$$
ローラン級数展開と孤立特異点
ローラン級数展開
孤立特異点
除去可能特異点の性質
極の性質
真性特異点の性質
留数定理
留数定理
留数定理の応用
等角写像
有理型関数
- $\i^2 = – 1$
$\iff \i = – \dfrac1{\i}$
$\iff – \i = \dfrac1{\i}$により導かれる。 ↩︎
